Příručka důkazů

Příklad

Chceme-li dokázat, že součet dvou lichých čísel je sudé číslo, bude začátek a konec vypadat takto:

Příklad

Chceme-li dokázat, že $\sqrt{2}$ je iracionální, šablona pro důkaz bude vypadat takto:

Příklad

Pokud dokazujeme jako v předchozím kroku, že součet dvou lichých čísel je sudé číslo, po sepsání začátku a konce budeme pokračovat tím, že si z definice rozepíšeme, co znamená, že je číslo liché/sudé:

Všimněte si, že při každém rozepsání z definice jsme použili jiné písmeno, protože zatím nevíme, jaký je vztah mezi $k,l,m$.

Nyní již můžeme snadno důkaz dokončit. Stačí si všimnout, že $a+b=2k+1+2l+1=2k+2l+2$. To chceme, aby se rovnalo $2m$, kde $m$ je celé číslo, takže stačí zvolit $m≔k+l+1$. Tím máme hotový důkaz.

Příklad

Podívejme se, jak bude po rozepsání z definice vypadat šablona pro důkaz, že $\sqrt{2}$ je iracionální:

V tomto případě již nelze důkaz hned přímočaře dokončit, přesto jsme se ale posunuli o krok blíž.

Příklad

Chceme odvodit vzoreček pro pravděpodobnost, že nastanou dva nezávislé jevy.

Vyzkoušíme to na příkladu: Jaká je pravděpodobnost, že hodím-li dvěma mincemi, padnou dvě hlavy? Sestavíme si tabulku všech možností:

Máme čtyři možné případy a jen jeden z nich je vyhovující, takže pravděpodobnost je $\frac{1}{4}$. Z toho zatím není úplně zřejmé, jaký to má vztah k pravděpodobnosti $\frac{1}{2}$, že na každé jednotlivé minci padne hlava. Zkusíme jiný příklad: hodíme dvěma kostkami a budeme sledovat, jestli na první padne 3 a na druhé 5.

Pravděpodobnost hodu trojky na jedné kostce je $\frac{1}{6}$, stejně tak pětky.

Příznivý jev (hod trojky a pětky) je jen jeden, ale všech jevů máme 36. Tedy pravděpodobnost je $\frac{1}{36}$.

Z těchto dvou příkladů už je vidět, že by se mohlo jednat o součin jednotlivých pravděpodobností. Ovšem v obou příkladech byly obě vstupní pravděpodobnosti stejné. Bylo by tedy dobré pro jistotu vyzkoušet příklad, kde jsou různé. Zkusme najít pravděpodobnost, že na první kostce padne sudé číslo a na druhé 1.

Dohromady máme 3 příznivé jevy a všech jevů je 36, tedy pravděpodobnost je $\frac{3}{36}=\frac{1}{12}$. Zato vezmeme-li si tyto jevy zvlášť, pravděpodobnost prvního je $\frac{1}{2}$ a druhého $\frac{1}{6}$. To souhlasí s naší hypotézou, že se jedná o součin. Nyní již nastane čas ověřit hypotézu nějak rigorózněji.

Příklad

Zkusíme dokázat důležitý vzorec

Dosaďme například $n=3$. Potom dostáváme

Vynásobíme obě strany rovnosti $1-q$:

Roznásobíme výraz na levé straně, abychom ověříli, že se rovná výrazu na pravé straně:

Vidíme, že členy se stejnou mocninou se vždy vzájemně vyruší a zbyde jen první a poslední. Zároveň si můžeme všimnout, že to takto bude fungovat pro libovolné $n$, což nám silně napovídá, jak provést obecný důkaz.

Příklad

Zkusme najít vzorec pro součet prvních několika lichých čísel. Spočteme si

V tom už je vidět vzor – součet prvních $n$ lichých čísel se rovná $n^2$. To můžeme následně dokázat například pomocí matematické indukce.

Příklad

V sekci Konkrétní příklady jsme si všimli vzoru, že součet prvních $n$ lichých čísel se rovná $n^2$. Z následujícího obrázku je dobře vidět, proč to tak funguje:

Příklad

Jedním ze známých problémů je rozklad kladného celého čísla $n$ na součet kladných celých čísel. Můžeme zkusit dokázat, že počet takových rozkladů, kde nejvyšším číslem je číslo $k$, je stejný jako počet rozkladů obsahujících právě $k$ sčítanců.

Hlavní myšlenkou takového důkazu je nakreslit si obrázek, z kterého to již snadno vyplyne. Vezmeme např. číslo $9$ a napíšeme si ho jako $4+3+2$ (sčítance píšeme vždy v sestupném pořadí), kde je nejvyšším číslem $4$. To můžeme nakreslit jako tři řádky, první sestávající ze čtyř čtverečků, druhý ze tří a poslední ze dvou:

Pokud se nyní podíváme na sloupce, vidíme, že počty čtverečků odpovídají rozkladu sestávajícímu ze čtyř sčítanců: $9=3+3+2+1$. Právě proto, že nejdelší je $4$, vždycky dostaneme čtyři řádky, tedy rozklad na čtyři sčítance.

Stejně tak můžeme argumentovat naopak, máme-li čtyři sloupce, dostaneme alespoň jeden řádek obsahující $4$ (a žádný větší). Máme tedy jednoznačné přiřazení mezi rozklady s nejvyšším sčítancem $4$ a rozkladem na $4$ sčítance, z čehož plyne, že je jich stejně. Analogicky to samozřejmě funguje i pro jiná čísla $n$ a $k$.

Příklad

Zkusme najít výherní strategii pro piškvorky $3\times 3$. Možných posloupností tahů je $9\cdot 8\cdot 7\cdot \cdots \cdot 2\cdot 1=362880$, takže kdybychom je všechny procházeli postupně, trvalo by to hodně dlouho. Naštěstí ale z devíti možných počátečních tahů stačí uvažovat jen tři, protože ostatní jsou symetrické:

Po každém z těchto tahů by mohlo následovat osm dalších, ale s ohledem na symetrii máme dohromady jen dvanáct:

U každé z těchto pozic už dokážeme snadno určit, jak dopadne.

Příklad

Máme-li například kubickou rovnici, je často vhodné tipnout si řešení. Pokud jej najdeme, můžeme si problém zredukovat na snazší a ten pak vyřešit.

Mějme rovnici $x^3+x^2-x-1=0$. Podle základní věty algebry víme, že platí $x^3+x^2-x-1=(x-a)\cdot (x-b)\cdot (x-c)$, kde $a,b,c$ jsou kořeny rovnice. Zkusíme nějaký z nich uhodnout. Můžeme vyzkoušet, jestli je řešením třeba nula nebo jednička – a jednička je opravdu řešením. To znamená, že můžeme rovnici vydělit $(x-1)$, čímž dostaneme $x^2+2x+1=0$. U toho již snadno najdeme dva zbylé kořeny.

Příklad

Mějme rovnici

Můžeme si všimnout, že se dá přepsat jako

Pokud teď označíme $y≔x^4$, dostaneme tím obyčejnou kvadratickou rovnici:

Tu již dokážeme hravě vyřešit jako $y=1$ nebo $y=16$. Úkolem ale bylo najít $x$, přičemž $y=x^4$. Dostáváme tedy

Z toho již dostáváme řešení: $x=\pm 1$ nebo $x=\pm 2$.